Nazwa ulicy nawiązuje do prężnego ośrodka garncarskiego, jakim w przeszłości był Sokołów. Garncarstwo stanowiło jedno z głównych rzemiosł dawnego Sokołowa. Pierwszy garncarz wymieniony jest w dokumentach już z roku 1579. W 1641 roku garncarze tworzą cech wspólny razem z bednarzami, kołodziejami i stolarzami. Ich ambicją było jednak stworzenie samodzielnego cechu garncarskiego, co zrealizowane zostało na podstawie przywileju Katarzyny Scholastyki Branickiej i jej syna Jana Branickiego wydanego w 1710 roku. Garncarstwem zajmowały się całe rodziny, a tradycja ta przechodziła z ojca na syna. Do najliczniejszym rodzin zajmujących się tą branżą rzemiosła zaliczali się m.in. Koziarzowie i Frycowie. Jak zapisano w jednym z opracowań historycznych: „Garncarze sokołowscy jeździli ze swoim towarem do Rzeszowa, Łańcuta, Tyczyna, Żołyni na jarmarki. Ale do Sokołowa nikt obcy z naczyniami nie przyjeżdżał”. Garncarze sokołowscy zamieszkiwali w dużej mierze „dzielnicę” zwaną Kozim Rynkiem. Dzisiejsza ulica Garncarska przebiega przez jej ówczesny teren. Warto również odnotować, iż pierwsze wydane drukiem opracowanie historyczne dotyczące historii Sokołowa opisuje dzieje właśnie cechu garncarskiego. Wydane zostało w 1899 roku we Lwowie, a jego autorem jest ksiądz Stefan Szydelski.